2進数　負の数の表示(補数表現) - ミドリ黄のプログラミングメモノート

負の数の表示
負数の簡単な計算方法
8ビット符号付整数で表現できる最小値
例題 -42の表現

負の数の表示

以下では8ビットの整数について考えます。

$(-1)_{10}$ (10進数の -1) を2進数で表示する場合は

符号を反転した数値との和が0になればよい

です。つまり、この場合だと
$(1)_{10} = (0000 \space 0001)_2$
との和が0になればよいので、
1111 1111
が答えになります。

0000 0001 と 1111 1111 の和は
$\begin{array}{rr} & 0000 \space 0001 \\ +\big{)} & 1111 \space 1111 \\ \hline & 1 \space 0000 \space 0000 \end{array}$

となりますが、8ビットで考えているため9ビット目は取り除かれます。すると結果的に答えは
0000 0000
となります。

負数の簡単な計算方法

補数の簡単な求め方は次の通りです。

2の補数を求めるには、各ビットを反転させて1を加算する。
(参考：2の補数 - Wikipedia)

これを参考に $(-1)_{10}$ を求めてみます。
まず、 $(1)_{10}$ を2進数に直すと、
0000 0001
となります。

次に、これの各ビットを反転させると、
1111 1110
となります。

これに1を加えると、
1111 1111
となり先ほど求めたものと一致します。

補数を求めるときは「各ビットを反転させて1を加算する」という手法を用いて、求めた結果が正しいかを判断するために「和が0になるかを調べる」という手法を用いると計算ミスが減ると思います。

8ビット符号付整数で表現できる最小値

8ビットでの最小値は。
$(-128)_{10} = (1000 \space 0000)_2$
です。

一方、最大値は
$(127)_{10} = (0111 \space 1111)_2$
となります。

最大値の絶対値と比較して最小値の絶対値の方が1大きいため、「各ビットを反転させて1を加算する」という手法で最小値は求まりませんが、最大値と最小値の和を求めると、
$\begin{array}{rr} & 1000 \space 0000 \\ +\big{)} & 0111 \space 1111 \\ \hline & 1111 \space 1111 \end{array}$

となり、
$(-1)_{10} = (1111 \space 1111)_2$
となることから、
$(-128)_{10} = (1000 \space 0000)_2$
であることは確かめられます。

例題 -42の表現

まず、
まず、 $(42)_{10}$ を2進数に直すと、
0010 1010
となります。

次に、これの各ビットを反転させると、
1101 0101
となります。

これに1を加えると、答えが求まるで、
$(-42)_{10} = (1101 \space 0110)_2$
となります。

$(42)_{10} = (0010 \space 1010)_2$
との和を求めると0になることが確かめられます。
$\begin{array}{rr} & 1101 \space 0110 \\ +\big{)} & 0010 \space 1010 \\ \hline & 0000 \space 0000 \end{array}$